以下為各位大神做的公式推導(dǎo)，云儀小編將這個(gè)分享出來供大家參考
如果其他大神有不同意見或者是其他更好的方式，歡迎交流與學(xué)習(xí)
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讓大家可以更好的掌握此項(xiàng)試驗(yàn)
大神一：
單擺的周期公式是 T=2π√(L/g) ,只與擺長和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣扔嘘P(guān),與擺長的平方根成正比,與當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊钠椒礁煞幢?
這個(gè)公式T=2π√(L/g)是根據(jù)彈簧振子的周期公式T=2π√(m/k)
推導(dǎo)出來的,因?yàn)閱螖[做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的比例系數(shù)(F=-kx中的k)k=mg/L代入T=2π√(m/k)即得T=2π√(L/g).
證明：
擺球的擺動(dòng)軌跡是一個(gè)圓弧.設(shè)擺角(擺球偏離豎直方向的角度)為θ,則擺球的重力mg沿此圓弧的切線方向的分力為mgsinθ.設(shè)擺球偏離平衡位置的位移為x、擺長為l,則當(dāng)擺角很小時(shí),可以認(rèn)為sinθ=x/l.所以,單擺的回復(fù)力為F=-mgx/l.
對于系統(tǒng)而言,m、g、l均為定值,故可認(rèn)為k=mg/l,則F=-kx.
因此在單擺很小的情況下,單擺做簡諧運(yùn)動(dòng).
將k=mg/l代入ω=√(k/m)可得ω=√(g/l).由T=2π/ω可得單擺周期公式
T=2π√(l/g).
彈簧振子
F=-kx
a=d²x/dt²
=-(k/m)x=-ω²x ω=√(k/m)
d²x/dt²+ω²x=0
解微分方程
得：x=Acos(ωt+φ)
ω=2π/T
T=2π/ω=2π√(m/k)
單擺:
F切=ma=-mgsinθ a=ld²θ/dt²
ma=mld²θ/dt²=-mgsinθ
d²θ/dt²+(g/l)sinθ=0
θ<5° sinθ≈θ
d²θ/dt²+(g/l)θ=0 令ω²=g/l
d²θ/dt²+ω²θ=0
解微分方程：θ=θ0cos(wt+φ)
得：T=2π/ω=2π√(l/g)
設(shè)夾角a 線長l 拉力T 角速度w
T-mgCOSa=w^2*l (1)
mgSINa=-mdv/dt (2)
v=da/dt*l(3)
有2 3 式得
gSINa/l=-d^2a/dt^2
a很小時(shí)sin(a)=a
g*a/l+d^2a/dt^2=0 這是最簡單的常微分方程式
特征根是 A=(g/l) i w^2=g/l 所以解a=a0cos(wt+b)
周期T=2TT/w=2TT*(l/g)^1/2
嚴(yán)密的：gsin(a)/l=-d^2a/dt^2 開始不做近似
兩邊乘以da/dt 再積分（和證明能量守恒一樣）
(da/dt)^2=2g/l *COSa+C 當(dāng)a=0時(shí)如果da/dt=w0 那么C=w0^2-2g/l (da/dt)^2=4g/l *(lw0^2/4g-SIN^2a/2)>=0
設(shè)lw0^2/4g=k^2 帶入 dt=+-1/2*(l/g)^1/2*da/(k^2-SIN^2a/2)^1/2
設(shè)SINa/2=ku 在帶入 dt=+-(l/g)^1/2*du/((1-u^2)(1-k^2u^2))^1/2
然后利用橢圓積分 得到
大神二
第一向心力：設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿半徑為r的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻速度為v1 很短的△t時(shí)間后為v2速度矢量改變△v=v2-v1 比值Δv/Δt就是質(zhì)點(diǎn)的平均加速度，方向與Δv相同。當(dāng)Δt足夠小時(shí)比值就是瞬時(shí)加速度，A B兩點(diǎn)就重合為一點(diǎn)，Δv即a的方向就是切線方向 .
用Δs 表示AB長則Δv=v1*Δs/r 用Δv去除 則Δv/Δt=Δs*v/Δt*r 當(dāng)Δt趨近于0時(shí) Δv/Δt表示a的大小 Δs/Δt表示線速度的大小v1于是 a=v2/r再由F=ma得到F=mv2/r 用極限的思想
第二萬有引力公式是實(shí)驗(yàn)推倒的，沒有推導(dǎo)過程
第三單擺周期公式要積分的，電腦上我不會(huì)打
那個(gè)牛頓合力公式這種說法沒說過，F(xiàn)=ma是牛頓第二定律 f=df/dt=d(mv)/dt是他的數(shù)學(xué)形式一般低速宏觀用F=ma，你要是學(xué)過微分的話我可以把他的推到補(bǔ)上
f=ma的推導(dǎo)：
當(dāng)物體看作質(zhì)點(diǎn)，宏觀低速質(zhì)量看作不隨時(shí)間變換即沒有函數(shù)關(guān)系，m對t求導(dǎo)為零，
則f=d(mv)/dt=dm/dt*v+dv/dt*m
在上述前提下dm/dt=0 所以推出f=0+dv/dt*m 即f=ma
歡迎各位同學(xué)和老師來補(bǔ)充：
這里我只做一個(gè)對比來說明單擺是簡諧振動(dòng)，具體推到你可以去解微分方程，其實(shí)也很簡單就能算出它的表達(dá)式。
首先我們知道彈簧振子的振動(dòng)是簡諧振動(dòng)（要是這個(gè)不知道那就沒辦法了），彈簧的胡克定律是
F=k‘x
也就是ma=k’x，則有 a=k‘/m*x=kx
即 x’‘=kx （或者寫成微分形式：d^2x/dt^2=kx）................(*)
只要表達(dá)式符合這樣的相似條件，那么就是簡諧振動(dòng)。
現(xiàn)在我們假設(shè)擺動(dòng)角度為θ，角速度為ω，角加速度為ɑ，
則有θ’=ω，ω‘=ɑ。
根據(jù)單擺的受力可知：mgsinθ=mθ’‘，即 gsinθ=θ’' ................(#)
根據(jù)單擺的要求知道，擺角要小于5°，也就是說θ趨近于0，我們知道當(dāng)θ→0時(shí)，sinθ→θ，也就是可以用θ來代替sinθ
即 sinθ=θ
所以（#）式可以轉(zhuǎn)化為
gθ=θ'' 即 θ''=g θ （或者是d^2θ/dt^2=gθ）
這顯然與（*）式的表達(dá)式是一致的，所以單擺是簡諧振動(dòng)
k1 T=TT/k*(l/g)^1/2*無窮級數(shù)(（2n-1)!/(2n)!(1/k)^n)^2
TT是派
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